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潜伏——谈数学题中的隐含条件

作者:佚名   时间:  2014-05-09 17:10:40   浏览:  997次

 

数学题中的隐含条件是潜藏在题目背后的隐蔽条件 ,是相对“显条件”而言的,学生在解题时经常犯许多错误,究其原因除了特别难的题目和粗心大意造成的计算错误以外,更多的是题设中的条件没有进行充分的挖掘,即题设中的隐含条件没有挖掘出来。不少题目的部分条件并不明确指出,而是隐含在文字叙述或一些特定的表达中,若能发掘出来能迅速获得解题的思路和途径 ,否则,就会造成条件不足的假象无法解答或得出错误结论。下面我们就如何挖掘题目中的隐含条件作出探讨。

1. 从数学定义本身挖掘隐含条件

例1.     已知椭圆的中心为原点O,离心率 ,一条准线的方程为

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)设动点P满足 = ,其中M,N是椭圆上的点,直线OMON的斜率之积为 ,问:是否存在两个顶点 ,使得 为定值?若存在,求 的坐标;若不存在,说明理由。

分析:由 为定值想到椭圆的定义,因此问题可转化为求P的轨迹方程,对于该问题中的向量等式利用向量的坐标形式进行转化,可得到坐标之间的关系。

解(1)由 ,解得 ,所以 ,故椭圆的标准方程为

2)设 ,则由 = = +2 = ,即 ,因为点MN在椭圆上,所以 ,故

=

分别是直线OMON的斜率,由题设条件知 ,因此 ,所以点P在椭圆 上。设该椭圆的左、右焦点为 ,则由椭圆的定义可知 为定值,且C= ,因此存在满足条件的 ,此时 的坐标分别为

反思:本题设问比较隐蔽,不直接求动点P的轨迹,而是将问题隐于问题的等价叙述中,我们是通过对椭圆定义的剖析,猜想P的方程应符合椭圆的方程,按照这一思路通过消参达到目的。若是没有深刻挖掘这一隐含条件,那么本题将会无从下手。

2、从不变因素——定点的角度挖掘隐含条件

在解析几何中我们经常会研究直线系,圆系等运动变化着的问题,而在这千变万化中却不是无章可循,其中总会有一些不变的量,只要我们能分析挖掘出这“不变”的因素,问题便会迎刃而解。

例2.     已知圆C:直线

(1)求证:不论m取什么实数,直线与圆相交;

(2)求直线被圆截得的线段的最短长度及此时m的值。

分析:此题按照常规解法我们一般会有两种解法,法一是:将直线和圆联立方程组,考查 0是否恒成立。法二是:先求出圆心到直线的距离d,再证dr。这两种方法的计算量都相当大,很难得出正确的结论。若是在分析问题时能注意到直线是过定点的,那么我们就可以简便的解决问题了。

(1)证明:直线 按参数m整理得(x+y-4+m(2x+y-7)=0,

 。该直线恒过定点N3,1),将点(3,1)带入圆的方程的左边得 25,所以点N在圆C内。又点N在直线上,所以不论m取何实数,直线 与圆C恒相交。

2)解:要使弦长最短,只需圆心C到直线 的距离最大,即当 CN时,圆心C到直线 的距离最大,此时弦长最短,易求得最短长度为 ,此时

反思:当问题中涉及到直线系时首先要考虑直线过定点问题,这是解决这类问题的突破口。在解题的过程中如果能抓住题设中的“不变因素,“以静制动”、“以不变应万变”,就可以找到解题的捷径。

3、从变量的取值范围中挖掘隐含条件

在纷繁复杂的数学题海中,求参数的取值范围是一类特别常见的题型,也是学生们见到就觉得棘手的题型。他需要将对象区分成不同的种类,然后逐类进行研究和解决,从而达到研究与解决全部问题的目的,在这个过程中如果我们能纵观全局,发现问题的某些特殊性,再进行分类题目就会简单多了。

3.已知函数 上位增函数,且

      ,(1)求 的值;(2)设 ,若

      上至少存在一个 ,使得f( )-g( )h( )成立,求实数m的取值范围。

分析: 本题第2问中是一个有解问题,构造函数Hx=f(x)-g(x)-h(x),要求原不等式有解只需Hx)>0 上有解,即只需 0即可。如果按照求最值得一般思路想把Hx)的最大值求出来那就太麻烦了,几乎不可能利用这种方法找出正确答案,但是若在解题的过程中能够将Hx)函数研究透彻,那么你就会发现m0m0是解决问题的分水岭,你会有“柳暗花明又一村的感觉。

解:(1)由题意, 0 上恒成立,即 0

        因为 ,所以 0,故x -10 上恒成立,因为

        Y=x -1是增函数,所以只要 -10,即 1,所以 =1,因为 ,所以 =

(2)Hx=f(x)-g(x)-h(x)=mx- -2lnx-

   m0时,因为x ,所以 0,且-2lnx- 0,

所以Hx)<0,所以在 上不存在一个 ,使得f( )-g( )h( )成立。

   m0时,

因为x ,所以2e-2x0, 0,所以 0 上恒成立,所以Hx)在 上是单调增函数, =H(e)=me- -4,

所以只要me- -40,解得m ,故m的取值范围是( + )。

反思:在解决这种较复杂的参数问题时,一定要瞻前顾后,仔细研究函数的特点,不能怕耽误时间就盲目的往下做,这样只能得不偿失,既浪费了时间又得不到正确答案。而在经过了一番思考之后,就可以大大的简化解题过程了。

4、在多元问题中恰当的选择主元

在有几个变量的问题中,学生经常会按照惯性思维选择x为主元,这样反而有时会使问题变得更复杂,这时,我们不妨仔细观察看题设中给出的是哪个变量的取值范围,这时一般就会选择该变量为主元。

4.已知函数 ,其中a为实数

(1)若函数 =1处取得极值,求a的值;

(2)若不等式 对任意的 都成立,求实数x的取值范围。

分析:本题有ax两个变元,通常情况下我们都是知道定义域的情况下求参数的取值范围,而本题反其道而行之,因此,我们应该转换观点,把a当成主元而求之。

解:(1 ,由于f(x)x=1处取得极值,所以 ,所以a-3+a+1=0,所以a=1

2)由题知 对任意的 都成立,即

     0对任意的 都成立,

     ,因为 0恒成立,所以g(a)为单调递增函数,所以对任意的 g(a) 0恒成立的充要条件是g(0)0,即 0,所以-2x0,所以x的取值范围是

反思:变换主元的思想实际上就是一种“反客为主”的思想,在数学中有很多问题是不能用常规思路解题的,这时候就需要我们转换一下观点,把参数当成主元,这样解题思路凸现,大大优化了求解过程。

5、在解题的一般步骤中挖掘隐含条件

分析:并不是所有的数学题都是无章可循,灵活多变的,数学中的基础部分,基础题都有自己固定的解题方法,有固定的解题步骤,学生们有时只顾钻研难题,而忘了“本”,老师每天上课讲的最基本的解题步骤不去记,认为无关紧要,下面这两道题,若是忽视了“定义域”就会出现问题了。

5.判断函数 的奇偶性。

错解: =

      因为 是奇函数,所以f(x)是奇函数。

错误分析:判断函数的奇偶性的一般步骤是先求定义域,看定义域是否

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