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浅谈函数思想在三角函数解题中的妙用

作者:佚名   时间:  2014-05-11 10:29:46   浏览:  799次

 

江苏省徐州市第七中学    薛峰        221011

 

三角函数是高中数学学习之中的一大具体函数,由于三角函数所涉及到的公式很多,体现的函数思想丰富,变化形式灵活,因此在高考中也常见其身影。在近几年的高考试题中,对三角函数的大约占去了15%的份额,其中题型一般有选择题、填空题和难度适中的解答题,所考查的知识点一般设计三角函数的求值、化简和证明等,那高中学生应当如何攻克三角函数这一关呢?笔者从自身的教学经验出发,认为三角函数的解题可以运用一些函数的方法。下面将以北师大的教材为出发点,来做些相关的探讨。

    一、把握和利用三角函数的性质

三角函数是一种具体的函数,也有一般函数的定义域、值域等重要因素,同时函数的单调性等在三角函数上也有充分的体现,因此,巧妙利用三角函数的性质等可以帮助学生提高解题的效率。

    1.把握好三角函数的定义域和值域

    1:求函数 函数的值域。首先,可以得知 的值域都在[0,1]之间,而根据 的性质,由此,可以假设 = =sinθ,同时可以得出θ的角度取值范围 ,这样便可将函数转换成y= + sin = ,如此一来,函数定义域和值域也就一目了然了。因此,在解函数时,在学会运用三角代换法时就应当注意题目所隐含的信息。

    2.利用三角函数的单调性、周期性、奇偶性等性质解题

三角函数的单调性、周期性和奇偶性等都是高考常考的知识点,正弦、余弦、正切函数等都有自己的性质,因此解题时要灵活运用这些性质。

2   已知下列三角函数:y=sin2x+αcos2x的函数图象关于直线 对称,那么α的值是多少?

解析:由于函数图象关于 直线对称,根据函数的性质我们可以得出 对于所有的定义域上的x都成立,因此可以令 ,则有 ,因此, =-1 

在解三角函数的题目时,我们除了可以利用函数的周期性外,还可以紧扣函数的性质和含义,比如函数的最值的求法。在许多题目中,我们可以根据题目所给出的信息画出函数的图象,通过数形结合的方式来挖掘出函数的性质,解题。

    3.用数形结合来解题

数形结合思想是高中数学中极为有效的解题方法,对于许多形式复杂的题目我们只要将其图形画出来常可以得到直观的答案,将数形结合运用于三角函数中就需要学生掌握各三角函数的图形,以及相关的转化和平移等。

    对于不少的高中学生来说,他们对三角函数的理解总不是那么透彻,有的学生总是弄不清楚函数的伸缩变换和平移,以及它们之间的区别。因此,学生在理解函数图象的变换的时候,一定要紧扣三角函数的定义,把握函数解析式里各变量的正确含义。比如,函数y=Asin( )的函数图象与函数y=sinx图象之间的关系,牢牢把握“A”“ ”“ ”三者的含义和对图象形状的影响,只有真正掌握了它们的含义才能做到举一反三,熟练掌握数形结合方法的运用,试想,函数图象都无法画出来,数形结合方法的运用又从何谈起呢?在北师大版的数学书里,就非常重视对函数定义的把握和概念的理解。

二、活用几种函数思想

函数的学习是高中数学的重中之重,也是高考考查的重点和难点。函数思想贯穿于高中数学学习的方方面面,因此熟练掌握常见的函数思想,并将其灵活运用于各类题目中,是打赢高考这场战役的重要手段。三角函数的解题中我们也可以充分运用函数思想。

 除了前文所提到的数形结合思想,函数思想还包括转化化归思想,方程思想,分类讨论的思想等。

    1.换元思想的运用

在三角函数的题目中,我们常需要进行换元,来简化计算,提高做题的效率。

    已知 ,求 的值。

    解析:此题中,我们可以设sin =  ,cos =b,于是有 =1, 由题可知, ,

所以 ,有 ,所以

因此, =

   上题就是换元法的运用,题目看起来有点复杂,但实际上并不难,因此学生只有认真思考下所采用的方法,并一步步算下来就能成功拿下该题。

    2.方程思想在三角函数中的运用

方程思想的运用一般是根据题目给出的已知条件,利用韦达定理来列出相关的等式,进一步计算解答。

    比如,已知 是一元二次方程 的两个根,求 的值。根据题意,我们首先可以确定作为方程两根的 是满足韦达定理,也就是说 ,而根据题目所给出的α、β的取值域,我们可以得知因 ,另外, ,综合可知 ,有 ,所以 。此例给我们的启示就是此类三角函数题目的求解时,我们应当先根据题目所给出的三角函数与二次方程的关系,方程的根进而方程的系数之间有很大的关系,因此应当好好利用这种关系来帮助自己解题,这就是函数思想中的方程思想在三角函数里面的一个运用情形。

    3.分类讨论思想的运用

函数的分类讨论思想在三角函数中的运用主要在于所解题目需要进行象限符号的选取的时候,此外,三角函数在与二次函数综合考查时也常需要进行分类讨论。分类讨论思想有助于找到完整的正确答案,或是剔除不正确的答案。因此,有必要对分类讨论思想在三角函数中的运用作一定的掌握。

    :已知 ,求 的最小值。根据题目可以将目标函数进行转换,用sinα指代sinβ,然后只需确定sinα的取值范围,根据题目,可知 ,之后根据两个不同的取值范围,分别求出不同取值范围内函数最小值,然后进行比较,以求解函数最小值。

三、其他解题思路

除了前文中所介绍的换元思想、方程思想、分类讨论思想等在三角函数中常用到之外,函数思想中的转化思想,构造函数模型等在三角函数的解题中也往往能起到不小的作用。高考对于三角函数的考查中常涉及到的求值问题,可以分为三种类型,包括给角求值给值求值和“给值求角” 等,对于这三类求值问题,考生需要认真分析题目给出的已知条件,并尽可能多地挖掘出有用信息,并进一步确定所用的解题思路和方法。

比如说,对于一些化简的题目,可以从“角”“形”“名”等不同角度,从角入手,将复角化为单角;或者是从形入手,采用配方法来简化三角函数;或是从名入手,将不同名称的三角函数化为相同的三角函数。这些都是化归、转化思想的函数思想在三角函数中的具体运用。化归方法可以广泛地运用于三角函数的求值、证明、化简等诸多题型之中。

总之,三角函数是一种具体的函数,其有着诸多的公式和灵活的运用。因此,教师在根据北师大版的教材进行教学时,要注意帮助学生掌握最基本的相关概念和定义,使得学生对教材和考试大纲所要求掌握的重点知识,如正弦、余弦、正切等三角函数的性质,如周期性、单调性、奇偶性等基本性质的掌握和运用,当然,在教学的过程中,教师在给学生介绍函数思想在三角函数中的运用的同时,也应当培养学生的数学思维能力,增加他们对数学学习的兴趣和信心,让“三角”不再孤立,让学生能将三角函数真正学好。

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