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例谈两复数的差的模的几何意义的应用

作者:佚名   时间:  2014-05-11 10:38:31   浏览:  1466次

 

两个复数的差的模的几何意义是:复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。即设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)对应的点分别是A(a,b),B(c,d),| z1 -z2|=|AB|= 。让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的意应用。

应用一:求点的轨迹

  1求满足下列条件的复数z对应的点Z对应的轨迹:

        1|z3+4i|=2      22|z3+4i|3

         (3)|z-1+i|=|z+5+6i|    (4)|z-1|+|z+1|=4

         (5)|z-1|+|z+1|=2       (6)|z-2i|-|z+2i|=4    7|z-2i|-|z+2i|=3

   复数z对应的点Zxy

(1)看成动点Zxy)和3+4i对应的点(34)间的距离是2,即轨迹是以(34)为圆心,2为半径的

2)以(34)为圆心,2为半径的圆的外部和以(34)为圆心,3为半径的圆的内部,即轨迹是圆环,但不包括边界。

    3)看成动点Zxy)到点(1-1)和点(-5-6)的距离相等,即轨迹是以点(1-1)和点(-5-6)为端点的垂直平分线

    4)看成动点Zxy)到定点(10)和定点(-10)的距离之和是4,(且4大于两定点间的距离2),即轨迹是以定点(10)和定点(-10)为焦点且长轴长是4椭圆。

      (5) 看成动点Zxy)到定点(10)和定点(-10)的距离之和是2,(且2等于两定点间的距离2),即轨迹是以定点(10)和定点(-10)为端点的线段

6)看成动点Zxy)到定点A02)和定点B0-2)的 距离之差是4,(且4等于两定点间的距离4),即轨迹是以B为端点的一条射线(与有向线段AB同向共线).

(7) 看成动点Zxy)到定点(02)和定点(0-2)的距离之差是3,(且3小于两定点间的距离4),即轨迹是以定点(02)和定点(0-2)为焦点且实轴长为3双曲线的下支。          

[点评]    一般地 复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR) 对应的点分别是A(a,b),B(c,d),复数z对应的点Z对应的轨迹如下:

      (1)|z- z1|=r,则为圆   2)若r1|z- z1|r2,则为圆环,但不包括边界

3)若|z-z1|=|z-z2|,则为垂直平分线  

4)若|z-z1|+|z-z2|=常数,则①当常数大于AB时为椭圆 当常数等于AB时为线段  当常数小于AB时轨迹不存在

5)若|z-z1|-|z-z2|=常数,则①当常数大于AB时轨迹不存在   当常数等于AB时为一条射线当常数小于AB时为双曲线的一支

应用二:求轨迹图形的面积

2.     已知复数z同时满足|z|2|z+2i|2,求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积。

O

x

y

A

B

:所求图形是以(00)为圆心,2为半径的圆域和以(0-2)为圆心,2为半径的圆域的交集。由 解得交点为( )和( -2+ ,

所以S= = = .

另解:易知∠AOB=1200,扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍就是所求图形的面积。

应用三:探索动(含参)轨迹是否过定点

例3.         已知复数z满足|z- |= ,t是实数,

求复数z在复平面内对应的点的 轨迹是否过定点,若过,求出定点的坐标:若不过,说明理由。

:因为右边大于零,所以轨迹是以( )为圆心,  为半径的动圆,方程是 -2tx-2 y+4t-4=0,整理为( -4)+4-2xt-2y =0,此方程不论t取何实数,要想恒成立,则 -4=04-2x=0-2y=0,可得x=2y=0,所以复数z对应的点的轨迹过定点(20)。

应用四:求模的值

4. 已知复数z1 , 满足 |z1|=| |=|z1+ |=1,求|z1- | 的值。

:设复数z1, z1+

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