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关于平面三角形的定理在空间三棱柱(锥)中的推广

作者:佚名   时间:  2014-05-11 10:43:34   浏览:  943次

 

傅昌敏

A

E

B

C

O

P

 类比推理在高考中达到理解要求,而平面三角形的定理在空间中的推广是学生感到比较困难的问题。为了帮助同学们更好地理解及掌握,下面将此问题的求解策略作一番简单剖析。

推广1(平面三角形任意两边之和大于第三边定理),类比到空间四面体中有:任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。

证明:如图P在底面ABC的射影为O,作OE垂直ABE,AB垂直于POAB垂直面POE,故AB垂直OE。在直角三角形POEPE>OE,故 AB.PE> AB.OE, .同证 > , > ,三式相加得结论。

推广2(平面上有勾股定理):直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方和,类比到空间三棱锥中,有正确结论:三个侧面两两垂直的三棱锥,三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方。

 

C

E

B

A

P

 证明:在三棱锥P-ABC中,可证PA,PB,PC两两互相垂直,设PA=a,PB=b,PC=c,AB= AC=  BC= ,作AE垂直BC,连接PE,则可证BC垂直面PAE,BC垂直PE,在三角形PBC中由等面积转换得PE= 。在三角形APEAE =AP +PE .在三角形ABC

=

推广3(平面上有射影定理):在三角形ABC中,ABAC,ADBC,D为垂足。则AB =BD.BC.类比到空间三棱锥P-ABC中有:三侧面PAB,PAC,PBC两两互相垂直,PO⊥平面ABCO为垂足,且O在△ABC中,则

C

E

B

A

P

O

O

S =S .S ,S =S .S ,

S =S .S .

     证明:由右图和

易证第二式。同证其它两式。

A

B

C

D

E

F

P

Q

R

推广4.(平面上有正弦定理):在三角形EFD = = (*),类比到空间斜三棱柱ABC_PQR的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角的关系: = .

      证明:作三棱柱的直截面(垂直于侧棱的截面)DEF,则∠DFE,DEF,EDF,分别是面ACRPBCRQ,ABQP和面BCRP,ACRP和面ABQP所成的二面角的平面角,且AP=QB=CR在(*)中同乘AP可得结论。                                                                                                                                推广5。(平面上有余弦定理):在三角形DFE中,DE 2DF.EFCOSDFE#),类比到空间斜三棱柱ABC_PQR的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角的关系:

S =S +S 2S .S  . COSDFE,其中∠DFE是面ACRP与面BCRQ所成二面角的平面角         

      证明:同第4题,只要在(#)式中同乘AP 可得结论  .

【注】:同得S = S + S 2S .S COSDEF,( 二面角的平面角)          S = S + S 2  S S COS EDF (二面角的平面角)

推广6.(平面上有大边对大角定理):在三角形DEF中若DF>DE,则∠DEF>DFE,类比到空间斜三棱柱ABC_PQR三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角的关系:S S ,则面ABPQ与面BCRQ 所成二面角的平面角∠DEF 大于面ACRP与面BCRQ所成二面角的平面角∠DFE.

      证明:同第4题图,由S

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