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克服定势 打破常规——例谈如何避免分类讨论

作者:佚名   时间:  2014-05-12 07:41:44   浏览:  1192次

 

围魏救赵,曹冲称象的故事之所以流传千古,其思维策略就是“以分制合”。就是我们数学解题上的“分类讨论的思想方法”。分类讨论可以使某些问题分而治之,从而迅速找到解题的突破口。但事物往往是辨证的。对于某些问题,运用分类讨论过程往往比较复杂。但如果我们注意克服思维定势,处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辨证统一关系,充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性,加大“想”的力度,简化“算”的过程,就能简化或避免分类讨论。下面举例谈谈如何避免分类讨论。

一、直接处理,避免分类讨论

1设等比数列 的公比为q,前n项和为 ,若 成等差数列,则q的值为____________

分析:如果利用等比数列前n项和公式求解,则需要对公比q=1q1两种情况进行讨论。注意到 ,代入已知条件 成等差数列,即可避免分类讨论,使问题容易得到解决。

解: 成等差数列,

可得 。而 ,则

反思:对于涉及等比数列前n项和的问题,若能直接运用已知条件中各个量的关系求解,既可避免讨论又可使问题得到灵活解决。

二、变换主元,避免分类讨论

2:设不等式 对于满足 的一切m的值都成立,求m的取值范围。

分析:本例为含参数的不等式,关键是对参数的处理,从表面上看,是一个关于x的一元二次不等式,实质上是一个关于m的一元一次不等式,并且已知它的解集为[-22],求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化,借助于一次函数图象,避免了繁杂的对参数的讨论。

:设 ,它是以m为自变量的一次函数,其图象为直线,由题意知,这条直线当 时,线段在y轴的下方,满足它的为

反思:构造以参数为自变量的函数,通过变换视角实现反客为主,进而避免分类讨论。

三、借助性质,避免分类讨论

3:设定义在[-22]上的偶函数在区间[02]上单调递减,若 ,求实数m的取值范围。

分析:由函数的定义域知 ,但是 m到底是在[-20]、[02]的哪个区域内不十分清楚,若就此讨论将十分复杂,如果注意到性质“如果是偶函数,那么 ”,问题解答就简捷多了。

是偶函数,∴

又当 时, 单调递减

,解得

反思本题应用了偶函数的一个简单性质,从而避免了讨论,将“曲径”变“通途”,值得深思。

四、整体分析,避免分类讨论

4已知函数 ,是否有实数 使得函数 的定义域、值域分别是[ ][ ]?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由。

分析:定义域、值域都是两个动态的区间,按常规做法需分函数 在区间[ ]上为单调递增、递减和先增后减的三种情况,这样就无法回避一个复杂的程序化的运算过程。但定义域和值域间的这种对应关系似乎在提醒我们: [ ]上应该是一个增函数!这种直觉的判断怎么能得以落实呢?唯一的可能就是要从题意中挖掘出“ ”这一隐含条件,从整体上考虑,将定义域扩大为

:∵ 上的最大值是1

∴若存在,则 [ ]上的最大值是

         

从而函数 是增函数

   解得

     

反思本题依据“函数在整体区间上的最大值不小于在局部区间上的最大值”这一基本事实,使问题得于简化处理,避免了分类讨论。

五、挖掘隐含,避免分类讨论

5已知 ,方程 有实数解,确定实数 的取值范围。

分析:按常规解法令 ,转化为二次函数问题,然后对 以及解的个数进行讨论,过程比较麻烦。但仔细分析可知方程两根之积为 ,则方程在 上只能有一个根。进而简化讨论。

解: ,则方程可化为

如果方程( )在 上有两个根,则 ,这与 相矛盾。

∴( )在 上只能有一个根

,利用根的分布原理知 ,解得 ,又∵ ,∴ 的取值范围是

反思通过利用隐含条件 ,从而避免了复杂的分类讨论。

六、分离参数,避免分类讨论

6 试确定 的取值范围,使对任意 总有

分析:一般地,设 ,则问题可转化为二次函数 上恒大于0 的取值范围,需对对称轴 的相对位置关系进行讨论。过程繁琐,若将 分离出来,则可转化为函数的最值问题。

:由原不等式得    

,而     ,故 取值范围是

反思对于不等式的恒成立问题或方程的有解问题,分离参数法常能使运算过程变得简洁。

总之,对于分类讨论题型,我们主张熟悉和掌握分类思想,以便“分而治之,各个击破”,但同时要能善于根据题目特点,尽可能消除讨论因素,避免分类讨论。积累经验,克服定势是解决这类问题的关键。

[参考文献]

1、沈文选《中学数学思想方法》湖南师范大学出版社,1999

2、薛金星《高中数学解题方法与技巧》北京教育出版社,2003

3、张奠宙,过伯祥《数学方法论稿》上海教育出版社,1996

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