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三角函数在求圆(扇形)内接矩形面积最大值中的应用

作者:佚名   时间:  2014-05-12 07:57:26   浏览:  1536次

 

关键词:三角函数 内接矩形 最大面积 选取变量

文章摘要:在处理圆或扇形内接矩形的面积问题中,我们常常采用角度作为刻画面积的变量,如何找到合适的角,以及怎样的内接矩形就是我们解决问题的关键。

 

       在三角函数的应用中,我们经常会利用角表示图形中的边长关系,进而可以求解所给图形周长面积等问题。今天我们就从书本例题出发,讲解如何利用三角函数求解圆、半圆、扇形内接矩形面积最值问题。

.圆的内接矩形问题。

如图所示,半径为 的内接矩形为 ,求矩形 面积的最大值。

分析:圆的内接矩形并不是固定的,但是其对角线一定经过圆心,所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。

解:设 ,则

时, 取到最大值为

评注:可以得到一般性结论,圆的内接矩形中面积最大的是正方形。

.半圆的内接矩形问题。

《苏教版必修4》 例5:在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?

分析:要使截到的矩形面积最大,首先需要保证这是半圆的内接矩形。而半圆的内接矩形依然不是唯一的,其中 两点在半圆的直径上移动, 两点在弧上移动。但是这四点的变动是相互牵引的,或者说,我们只要移动一个点,其他三个点为了保证是圆的内接矩形都会跟着做相应的移动。难么怎样找到一个量来刻画其中一个点的运动过程呢,同时又使计算相对简单一些。不防以 为原始动点,它从半圆的弧的右端点开始运动到弧的中点。而 点的这个运动过程我们可以用 所成的角刻画,角度从 变到

解:如图所示,设 ,且 为锐角,半圆的半径为 ,则面积最大的矩形 必内接于半圆 ,且两边长分别为

      

       这个矩形的面积为

      

       所以,当 ,即 时。矩形 的面积取得最大值

评注:其实本题的做法有很多,我们也可以建立坐标系,给出动点 的坐标和轨迹方程,进而利用基本不等式求出内接矩形的最大面积。所以问题的重点不在于三角函数的变换,而是在如何选取变量。

 

3.扇形的内接矩形

扇形的内接矩形较为复杂,我们分顶角为锐角和钝角两种情况解析。

1)圆心角为锐角的扇形内接矩形

如图,求圆心角为 半径为 的扇形 内接矩形 面积的最大值。

分析:如图所示,矩形 内接于扇形 ,我们可以把 点作为原始动点,牵引内接矩形的变化,那么如何刻画 点在弧 上的运动。从 点到 点,我们可以用 与一个半径 所成的角 ,从 变化到 来描述 点的运动。

解:如图所示,设

所以

      

       所以当 时, 取到最大值

另外,扇形的内接矩形还有其它形式,如图,使矩形的一边平行于弦 作出内接矩形 。而这样的内接矩形,我们以扇形的角平分线为分界将这个扇形分成两个相等小的扇形。

 

 

 

 

这样类比第一种方法,我们总结一下一般做法:

圆心角为 )半径为 的扇形 内接矩形

,则

下面使用三角函数的叠加公式即可。

评注:圆心角为锐角的扇形内接矩形都可以转化为这个基本图形来求解。

 

2)圆心角为钝角的扇形内接矩形

《中学数学教学参考-2011高考总复习一轮文科》 变式补偿3

将一块圆心角为 ,半径为 的扇形钢片裁出一块矩形钢片,如图有两种裁法:使矩形一边在扇形的一条半径 上,或者让矩形一边与弦 平行,试问哪种裁法能使截得的矩形钢片面积最大?并求出这个最大值。

 

 

 

 

 

分析一:第一种裁法中,这个矩形并没有四点都在扇形的边缘上。但是这个矩形依然是变动的,点 移动到 ,使得点 从圆弧的最上方移动到最右方。此时我们还是找到一个量来刻画他们的运动,这个量我们可以选择是 所成的角(从 变化到 )。注意这里 不可能到 的左侧。

解:设

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